Question

（2012•奉賢區(qū)一模）已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=|n-13|，那么滿(mǎn)足a_k+a_k+1+…+a_k+19=102的正整數(shù)k=

2或5

．

Answer 1

分析：利用等差數(shù)列的求和公式，可得{a_n}的前n項(xiàng)和S_n關(guān)于n的分段表達(dá)式．已知等式可化為a_k+a_k+1+…+a_k+19=S_k+19-S_k-1=102，k是正整數(shù)，通過(guò)討論k-1與13的大小，分別得到關(guān)于k的方程，解之即得滿(mǎn)足條件的正整數(shù)k值．

解答：解：∵a_n=|n-13|，∴a_n=

13-n    n≤13 n-13    n＞13

，
∴當(dāng)n≤13時(shí)，{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=

25n-n2

2

，
當(dāng)n＞13時(shí)，{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=

1

2

(n2-25n+312)
滿(mǎn)足a_k+a_k+1+…+a_k+19=102，即a_k+a_k+1+…+a_k+19=S_k+19-S_k-1=102，k是正整數(shù)
而S_k+19=

1

2

[(k+19)2-25(k+19)+312]=

1

2

（k²+13k+198）
①當(dāng)k-1≤13時(shí)，S_k-1=-

1

2

k²+k-13，
所以S_k+19-S_k-1=

1

2

（k²+13k+198）-（-

1

2

k²+

27

2

k-13）=102，解之得k=2或k=5
②當(dāng)k-1＞13時(shí)，S_k-1=

1

2

[(k-1)2-25(k-1)+312]=

1

2

（k²-27k+338）
所以S_k+19-S_k-1=

1

2

（k²+13k+198）-

1

2

（k²-27k+338）=102，解之得k不是整數(shù)，舍去
綜上所述，滿(mǎn)足條件的k=2或5
故答案為：2或5

點(diǎn)評(píng)：本題給出一個(gè)與等差數(shù)列有關(guān)的數(shù)列，叫我們找出滿(mǎn)足已知等式的最小正整數(shù)k，著重考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．