Question

定義g（x）表示如下函數(shù)：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

 (m∈Z)，則g（x）=m．給出下列關(guān)于函數(shù)f（x）=|x-g（x）|的四個(gè)命題：
（1）函數(shù)y=f（x）的定義域是R，值域是[0，

1

2

]；
（2）函數(shù)y=f（x）是R上的奇函數(shù)；
（3）函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，最小正周期是1；
（4）函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

k

2

(k∈Z)對(duì)稱．
其中正確命題的序號(hào)是

（1）（3）（4）

．（把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上）

Answer 1

分析：由已知若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

 (m∈Z)，則g（x）=m，因?yàn)閙為整數(shù)，故可取m為幾個(gè)特殊的整數(shù)，畫出函數(shù)的圖象進(jìn)行研究即可得到正確結(jié)論．

解答：解：由題意x-g（x）=x-m，f（x）=|x-g（x）|=|x-m|，
m=0時(shí)，-

1

2

＜x≤

1

2

，f（x）=|x|，
m=1時(shí)，1-

1

2

＜x≤1+

1

2

，f（x）=|x-1|，
m=2時(shí)，2-

1

2

＜x≤2+

1

2

，f（x）=|x-2|，
由圖象可知：
（1）y=f（x）的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0，

1

2

]，正確；
（2）函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，故不正確；
（3）y=f（x）是周期函數(shù)，最小正周期為1，正確；
（4）y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

k

2

（k∈Z）對(duì)稱，正確；
故答案為：（1）（3）（4）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，以及周期性、對(duì)稱性、奇偶性等性質(zhì)，也是一個(gè)新定義問(wèn)題，可結(jié)合圖象進(jìn)行研究，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．