Question

對(duì)于n∈N^*（n≥2），定義一個(gè)如下數(shù)陣：，其中對(duì)任意的1≤i≤n，1≤j≤n，當(dāng)i能整除j時(shí)，a_ij=1；當(dāng)i不能整除j時(shí)，a_ij=0．設(shè)．
（Ⅰ）當(dāng)n=6時(shí)，試寫出數(shù)陣A₆₆并計(jì)算；
（Ⅱ）若[x]表示不超過x的最大整數(shù)，求證：=；
（Ⅲ）若，，求證：g（n）-1＜f（n）＜g（n）+1．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意可得，． ．
（Ⅱ）由題意可知，t（j）是數(shù)陣A_nn的第j列的和，因此是數(shù)陣A_nn所有數(shù)的和．而數(shù)陣A_nn所有數(shù)的和也可以考慮按行相加．對(duì)任意的1≤i≤n，不超過n的倍數(shù)有1i，2i，…，．因此數(shù)陣A_nn的第i行中有個(gè)1，其余是0，即第i行的和為．從而得到結(jié)果．
（Ⅲ）由[x]的定義可知，，所以．所以．再考查定積分，根據(jù)曲邊梯形的面積的計(jì)算即可證得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）依題意可得，． ．
（Ⅱ）由題意可知，t（j）是數(shù)陣A_nn的第j列的和，因此是數(shù)陣A_nn所有數(shù)的和．
而數(shù)陣A_nn所有數(shù)的和也可以考慮按行相加．
對(duì)任意的1≤i≤n，不超過n的倍數(shù)有1i，2i，…，．
因此數(shù)陣A_nn的第i行中有個(gè)1，其余是0，即第i行的和為．
所以=．
（Ⅲ）證明：由[x]的定義可知，，
所以．所以．
考查定積分，將區(qū)間[1，n]分成n-1等分，則的不足近似值為，的過剩近似值為． 所以．
所以＜g（n）．所以g（n）-1＜g（n）+1．
所以g（n）-1＜f（n）＜g（n）+1．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查高階矩陣、矩陣的應(yīng)用、定積分等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．