Question

橢圓的中心在原點(diǎn)，其左焦點(diǎn)為F（-

2

，0），左準(zhǔn)線l的方程為x=-

3 2

2

．PQ是過點(diǎn)F且與x軸不垂直的弦，PQ的中點(diǎn)M到左準(zhǔn)線l的距離為d．
（1）求此橢圓的方程；    
（2）求證：

PQ

d

為定值；
（3）在l上是否存在點(diǎn)R，使△PQR為正三角形？若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得

c= 2 a2 c = 3 2 2 b2=a2-c2

，解出即可；
（2）由（1）可得e=

c

a

=

2

3

=

6

3

，分別作PP′⊥l，QQ′⊥l，MM′⊥l，垂足分別為P′，Q′，M′．利用梯形的中位線定理和橢圓的第二定義即可得出；
（3）如圖所示．設(shè)在l上存在點(diǎn)R(-

3 2

2

，yR)使得△PQR為正三角形，直線PQ的斜率為k，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
弦PQ的中點(diǎn)M（x_M，y_M）．把直線PQ的方程與橢圓聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式可得|PQ|，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得M，進(jìn)而得到|MR|，再利用|RM|=

3

2

|PQ|即可得出k．

解答：解：（1）由題意可得

c= 2 a2 c = 3 2 2 b2=a2-c2

，解得

a2=3 b2=1

．
∴此橢圓的方程為

x2

3

+y2=1；
（2）由（1）可得e=

c

a

=

2

3

=

6

3

，
分別作PP′⊥l，QQ′⊥l，MM′⊥l，垂足分別為P′，Q′，M′．
∴d=|MM′|=

|PP′|+|QQ′|

2

=

|PQ|

2e

，
∴

|PQ|

d

=2e=

2 6

3

．
（3）如圖所示．設(shè)在l上存在點(diǎn)R(-

3 2

2

，yR)使得△PQR為正三角形，直線PQ的斜率為k，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
弦PQ的中點(diǎn)M（x_M，y_M）．
由題意得

y=k(x+ 2 ) x2 3 +y2=1

整理得(1+3k2)x2+6

2

k2x+6k2-3=0．
∴x1+x2=-

6 2 k2

1+3k2

，x1x2=

6k2-3

1+3k2

．
∴M(

-3 2 k2

1+3k2

，

2 k

1+3k2

)，
|PQ|=

1+k2

[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2 3 (1+k2)

1+3k2

．．
則|MR|=

1+(- 1 k )2

|

-3 2 k2

1+3k2

+

3 2

2

|=

1+k2

|k|

×

3 2 (1+k2)

2(1+3k2)

．
由|MR|=

3

2

|PQ|，∴

1+k2

|k|

×

3 2 (1+k2)

2(1+3k2)

=

3

2

×

2 3 (1+k2)

1+3k2

，
兩邊平方化簡(jiǎn)得k²+1=2k²，解得k=±1．
當(dāng)k=1時(shí)，點(diǎn)M(-

3 2

4

，

2

4

)，直線MR的方程為y-

2

4

=-(x+

3 2

4

)．當(dāng)x=-

3 2

2

時(shí)，y=

2

，即點(diǎn)R(-

3 2

2

，

2

)．
同理，當(dāng)k=-1時(shí)，可得R(-

3 2

2

，-

2

)．
綜上可得：在l上存在點(diǎn)R(-

3 2

2

，±

2

)，使△PQR為正三角形．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、梯形的中位線定理和橢圓的第二定義、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為把直線的方程與橢圓聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)坐標(biāo)公式、正三角形的性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵．