Question

已知：向量，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足：.
(1) 求動(dòng)點(diǎn) M的軌跡 C的方程；
（2）已知直線、都過點(diǎn)，且，、與軌跡C分別交于點(diǎn)D、E.是否存在這樣的直線、,使得△BDE是等腰直角三角形?若存在，指出這樣的直線共有幾組(無需求出直線的方程)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

設(shè)點(diǎn)，則         …… 1分
∵  
∴   ……… ……… ……… 2分
∴點(diǎn) M的軌跡C是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 4 的橢圓……… …… ……… 4分
∴   ∴   
∴ 動(dòng)點(diǎn)M的軌跡 C的方程為    ……… ……… ……… 6分
 
(2)由（1）知，軌跡C是橢圓，點(diǎn)是它的上頂點(diǎn)，             
設(shè)滿足條件的直線、存在，直線的方程為  ①
則直線的方程為，② ……… ……… ……… 7分
將①代入橢圓方程并整理得：，可得，則.
將②代入橢圓方程并整理得：，可得，則.
由△BDE是等腰直角三角形得

  …………11分
∴或    ④…………………………………………12分
∵方程④或.
∴即滿足條件的直線、存在，共有3組．

解析