Question

4位學生與2位教師并坐合影留念，針對下列各種坐法，試問：各有多少種不同的坐法？（用數字作答）
（1）教師必須坐在中間；
（2）教師不能坐在兩端，但要坐在一起；
（3）教師不能坐在兩端，且不能相鄰．

Answer 1

【答案】分析：（1）先排4位學生，由排列公式可得有A₄⁴種坐法，2位教師坐在中間位置，可以交換位置，有A₂²種坐法，由分步計數原理計算可得答案；
（2）先排4位學生，由排列公式可得其坐法數目，要求2位教師坐在一起，用捆綁法，插入到4個學生符合要求的3個空位中，易得其有2A₃¹種坐法，由分步計數原理計算可得答案；
（3）先排4位學生，由排列公式可得其坐法數目，根據題意，將2名教師插在4個學生符合要求的3個空位中，有A₃²種坐法，由分步計數原理計算可得答案．
解答：解：（1）先排4位學生，有A₄⁴種坐法，
2位教師坐在中間，可以交換位置，有A₂²種坐法，
則共有A₂²A₄⁴=48種坐法；
（2）先排4位學生，有A₄⁴種坐法，
2位教師坐在一起，將其看成一個整體，可以交換位置，有2種坐法，
將這個“整體”插在4個學生的空位中，又由教師不能坐在兩端，則有3個空位可選，
則共有2A₄⁴A₃¹=144種坐法；
（3）先排4位學生，有A₄⁴種坐法，
教師不能相鄰，將其依次插在4個學生的空位中，
又由教師不能坐在兩端，則有3個空位可選，有A₃²種坐法，
則共有A₄⁴A₃²=144種坐法．．
點評：本題考查排列、組合的運用，關鍵在于掌握常見的問題的處理方法，如相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用插空法．