Question

【題目】將邊長(zhǎng)分別為的正方形疊放在一起,形成如圖所示的圖形,由小到大,依次記各陰影部分所在的圖形為第1個(gè)、第2個(gè)、……、第個(gè)陰影部分圖形.設(shè)前個(gè)陰影部分圖形的面積的平均值為.記數(shù)列滿足:.

(1)求的表達(dá)式及數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)記若,其中為常數(shù),且恒成立,求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ，

(2)

【解析】

(1)由第一個(gè)陰影部分圖形的面積為，第二個(gè)陰影部分圖形的面積為…第個(gè)陰影部分圖形的面積為，然后求出即可，再利用 ，求通項(xiàng)公式即可；

(2)先運(yùn)算行列式可得：恒成立,再討論當(dāng)時(shí)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， 當(dāng)為大于1的奇數(shù)時(shí)，求出的范圍即可得解.

解：(1)由題意可得：第一個(gè)陰影部分圖形的面積為，第二個(gè)陰影部分圖形的面積為…第個(gè)陰影部分圖形的面積為，則

，

又且，則，，

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，

當(dāng)為大于1的奇數(shù)時(shí)，，

即 ；

(2)由(1)得：，

又恒成立,即恒成立,即恒成立,

當(dāng)時(shí)，，即，

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，恒成立,

即，

即恒成立,

即，

當(dāng)為大于1的奇數(shù)時(shí)，恒成立,

即恒成立，

即恒成立，即，

綜上所述：的取值范圍為.