Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，動點(diǎn)滿足直線與的斜率之積為.記點(diǎn)的軌跡為曲線.

(1)求的方程，并說明是什么曲線；

(2)若，是曲線上的動點(diǎn)，且直線過點(diǎn)，問在軸上是否存在定點(diǎn)，使得？若存在，請求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)，橢圓；(2)存在，.

【解析】

（1）寫出斜率，根據(jù)斜率之積為建立方程，化簡即可（2）假設(shè)存在的定點(diǎn)，分MN斜率存在或不存在兩種情況討論，設(shè)，，當(dāng)MN斜率存在時，聯(lián)立方程可求出，根據(jù)兩角相等可得，化簡即可求出m,驗(yàn)證MN斜率不存在時也成立即可.

(1)由題意得：

化簡得：

曲線的方程為

是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓（不含左、右頂點(diǎn)）

(2)假設(shè)存在的定點(diǎn)符合題意

由題意知：直線的斜率分別為，

由題意及(1)知：直線與直線均不重合.

當(dāng)直線的斜率存在時

設(shè)其方程為，，

由，得直線的傾斜角互補(bǔ)，故

又

①

由消去，整理得：.

又，②

代②入①得：③

當(dāng)時，又不恒為０

當(dāng)且僅當(dāng)時，③式成立，即定點(diǎn)滿足題意.

當(dāng)直線的斜率不存在時，點(diǎn)滿足，也符合題意.

綜上所述，在 軸上存在定點(diǎn)，使得.