Question

（滿分14分）在斜四棱柱中，已知底面是邊長為4的菱形，，且點(diǎn)在面上的射影是底面對角線與AC的交點(diǎn)O，設(shè)點(diǎn)E是的中點(diǎn)，．
（Ⅰ） 求證：四邊形是矩形；
（Ⅱ） 求二面角的大小；
  （Ⅲ） 求四面體的體積．

Answer 1

（I）略   （Ⅱ）    （Ⅲ）

解法一：（Ⅰ） 連接．
因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121502502389.gif" style="vertical-align:middle;" />為菱形，
所以,又面，[所以．
而，所以．因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121503126314.gif" style="vertical-align:middle;" />是平行四邊形，所以四邊形是矩形．
（Ⅱ） 連接OE，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121503172566.gif" style="vertical-align:middle;" />,所以平面，∴ ,即為二面角
E──C的平面角．在菱形中， 
又E是的中點(diǎn)，．所以．
在△中，,∴ ，,
所以在△中，有，即二面角E─BD─C的大小為．      9分
（Ⅲ） 設(shè)點(diǎn)D到平面的距離為h，則有．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823121503594204.gif" style="vertical-align:middle;" />是的中點(diǎn)，所以14分
解法二：（Ⅰ） 連結(jié)AC、BD相交于O，連結(jié)．
由已知，有AC⊥BD，⊥面ABCD，故可建立空間直角坐標(biāo)系，
且以下各點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：，  1分
設(shè), ， 3分又, 四邊形為平行四邊形．是矩形． 4分
（Ⅱ） 設(shè),則．
， 由 可求得
∴．設(shè)為平面EBD的法向量，
則由，得
可取 , ． 6分
平面平面BDC的法向量為，
而 ． 
∴ 二面角E─BD─C的大小為．    9分
（Ⅲ） 設(shè)為平面的法向量，
則由 ,得
∴ 可取，．
到平面的距離 ．    11分  
而，又由（Ⅰ）知， ，
．················ 14分