Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是直角梯形，和是兩個邊長為2的正三角形，．

（1）求證：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）設是的中點，連接，由等腰三角形的性質(zhì)可得，利用勾股定理可得，由線面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可得結(jié)果；（2）過分別做的平行線，以它們做軸，以為軸建立空間直角坐標系，求出直線的方向向量，利用向量垂直數(shù)量積為零列方程求出平面的法向量,由空間向量夾角的余弦公式可得結(jié)果.

（1）∵△PAB和△PAD是兩個邊長為2的正三角形，

∴PB=PD=2，又BO=OD，∴PO⊥BD．

∵AB⊥AD，

∴在Rt△ABD中，由勾股定理可得，BD==2．∴OB=．

在Rt△POB中，由勾股定理可得，PO==，

在Rt△ABD中，AO==．在△PAO中，PO2+OA2=4=PA2，

由勾股定理的逆定理得PO⊥AO．

又∵BD∩AO=O，∴PO⊥平面ABCD∵PO平面PBD，∴平面PBD⊥平面ABCD．

（2）由（1）知PO⊥平面ABCD，又AB⊥AD，

∴過O分別做AD，AB的平行線，

以它們做x，y軸，以OP為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，如圖所示：

由已知得：A（﹣1，﹣1，0），B（﹣1，1，0），D（1，﹣1，0），C（1，3，0，P（0，0，）

則，．

設平面PDC的法向量為，直線CB與平面PDC所成角θ，

則，即，解得，

令z1=1，則平面PDC的一個法向量為，

又，

則，

∴直線CB與平面PDC所成角的正弦值為．