【題目】已知橢圓
：
的兩個焦點與短軸的一個端點恰好圍成一個面積為
的等邊三角形.
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，設(shè)橢圓的左右頂點分別為
、
，右焦點為
，
是橢圓上異于，的動點，直線
與橢圓在點處的切線交于點
，當(dāng)點運動時，試判斷以
為直徑的圓與直線
的位置關(guān)系，并加以證明.
【答案】（1）
；（2）相切，證明見解析
【解析】
（1）由條件可知，
，解得
，再根據(jù)條件求
；
（2）設(shè)直線
的方程為
，與橢圓方程聯(lián)立，表示點
的坐標(biāo)，并表示直線
的方程，利用兩直線的交點求點
的坐標(biāo)，并表示圓心，利用圓心到直線的距離，判斷直線與圓的位置關(guān)系.
解：（1）設(shè)橢圓半焦距為
，
依題意有
，∴，
，
，故
的方程為.
（2）以
為直徑的圓與直線相切，
證明如下：易知
，
，
，在點
處的切線方程為
.
由題意可設(shè)直線的方程為.
則點坐標(biāo)為
，中點
的坐標(biāo)為
.
由
得
.
設(shè)點的坐標(biāo)為
，則
.
所以
，
.
①當(dāng)
時，點的坐標(biāo)為
，點的坐標(biāo)為
.
直線
軸，此時以為直徑的圓
與直線相切.
②當(dāng)
時，則直線的斜率
.
所以直線的方程為
.
點到直線的距離
.
又因為
，故以為直徑的圓與直線相切.
綜上得，當(dāng)直線繞點
轉(zhuǎn)動時，以為直徑的圓與直線相切.
名校課堂系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】將正方形
沿對角線
折成直二面角
，
①
與平面
所成角的大小為
②
是等邊三角形
③與
所成的角為
④
⑤二面角
為
則上面結(jié)論正確的為_______．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
(1)當(dāng)
時，求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)
，不等式
對任意的
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某家庭進行理財投資，根據(jù)長期收益率市場預(yù)測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的年收益
與投資額
成正比，其關(guān)系如圖1；投資股票等風(fēng)險型產(chǎn)品的年收益
與投資額的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2.
（1）分別寫出兩種產(chǎn)品的年收益和的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該家庭現(xiàn)有20萬元資金，全部用于理財投資，問:怎么分配資金能使投資獲得最大年收益，其最大年收益是多少萬元?
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線
(a，b＞0)的左右焦點分別為F1(－c，0)，F2(c，0)，左頂點為A，左準(zhǔn)線為l，過F1作直線交雙曲線C左支于P，Q兩點，則下列命題正確的是( )
A.若PQ⊥x軸，則△PQF2的周長為
B.連PA交l于D，則必有QD//x軸
C.若PQ中點為M，則必有PQ⊥MF2
D.連PO交雙曲線C右支于點N，則必有PQ//NF2
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】甲、乙、丙、丁四名同學(xué)組成一個4
100米接力隊，老師要安排他們四人的出場順序，以下是他們四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；�。喝绻也慌艿诙�，我就不跑第一棒.老師聽了他們四人的對話，安排了一種合理的出場順序，滿足了他們的所有要求，據(jù)此我們可以斷定在老師安排的出場順序中跑第三棒的人是( )
A.甲B.乙C.丙D.丁
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在
中，已知A，a，b，給出下列說法：
①若
，則此三角形最多有一解；
②若
，且
，則此三角形為直角三角形，且
；
③當(dāng)，且
時，此三角形有兩解.
其中正確說法的個數(shù)為（ ）
A.0B.1C.2D.3
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