Question

【題目】已知函數(shù).

(1)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)，不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時，在定義域單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，； （2）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分為和兩種情形，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）問題等價于對任意的，恒有成立，即，根據(jù)，分離，從而求出的范圍即可．

(1)函數(shù)定義域為，且，

令，得，，

當(dāng)時，，函數(shù)在定義域單調(diào)遞減；

當(dāng)時，由，得；由，得或，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，.

綜上所述，

當(dāng)時，在定義域單調(diào)遞減；

當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，.

(2)由(1)知當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，.

問題等價于：對任意的，恒有成立，即.

因為，則，∴，

設(shè)，則當(dāng)時，取得最小值，

所以，實數(shù)的取值范圍是.