Question

【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是,是橢圓外的動(dòng)點(diǎn),滿足.點(diǎn)是線段與該橢圓的交點(diǎn),點(diǎn)在線段上,并且滿足,.

(1)當(dāng)時(shí),用點(diǎn)P的橫坐標(biāo)表示；

(2)求點(diǎn)的軌跡的方程；

(3)在點(diǎn)的軌跡上,是否存在點(diǎn),使的面積?若存在,求出的正切值；若不存在,說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，正切值為2

【解析】

（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，代入求解即可表示；

（2）根據(jù)幾何意義求解軌跡方程；

（3）若存在點(diǎn),使的面積，即，結(jié)合向量的數(shù)量及關(guān)系，表示面積關(guān)系得正切值.

(1)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

由在橢圓上,得,

由,知,所以.

(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)在軌跡上.

當(dāng)且時(shí),由,得.

又,所以為線段的中點(diǎn).

在中,,所以有,

綜上所述,點(diǎn)的軌跡的方程是.

(3)上存在點(diǎn)使的充要條件是.

, ,所以當(dāng)時(shí),存在點(diǎn),使;

當(dāng)時(shí),不存在滿足條件的點(diǎn).

當(dāng)時(shí),,

由,

,

所以，

,

即，

得.