Question

（2010•江西模擬）若x，y∈[-

π

4

，

π

4

]，a∈R，且滿足方程：x³+sinx-2a=0，和4y³+sinycosy+a=0則點P（x，y）的軌跡方程是

x+2y=0

．

Answer 1

分析：利用x³+sinx-2a=0，4y³+sinycosy+a=0，推導出2a=x³+sinx=（-2y）³+sin（-2y），構(gòu)造函數(shù)f（x）=x³+sinx，則f（x）=f（-2y），再由f（x）在[-

π

4

，

π

4

]是增函數(shù)，能夠推導出點P（x，y）的軌跡方程．

解答：解：∵x³+sinx-2a=0，4y³+sinycosy+a=0，
∴2a=x³+sinx=（-2y）³+sin（-2y），
構(gòu)造函數(shù)f（x）=x³+sinx，
∴f（x）=f（-2y），
又∵x，y∈[-

π

4

，

π

4

]，
∴f（x）是增函數(shù)，
∴x=-2y，
故點P（x，y）的軌跡方程是：x+2y=0．
故答案為：x+2y=0．

點評：本題考查點的軌跡方程的求法，綜合性強，是高考的重點，易錯點是知識體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及三角函數(shù)的相關知識，解題的關鍵是構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù)f（x）=x³+sinx．