Question

【題目】已知橢圓： （）的短軸長為2，以為中點(diǎn)的弦經(jīng)過左焦點(diǎn)，其中點(diǎn)不與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，射線與以圓心的圓交于點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若四邊形是矩形，求圓的半徑；

（Ⅲ）若圓的半徑為2，求四邊形面積的最小值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .（3）四邊形面積的最小值為.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)題意列出關(guān)于 、 、的方程組，結(jié)合性質(zhì) ， ，求出 、 、，即可得結(jié)果；（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理結(jié)合，可求出，從而可得結(jié)果；（Ⅲ）根據(jù)弦長公式，點(diǎn)到直線距離公式和三角形面積公式可得四邊形面積 ，利用單調(diào)性可得結(jié)果.

試題解析：（Ⅰ）由題意可知， ， ，則， .

所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）由題意可知，直線不與軸垂直，且經(jīng)過點(diǎn)，

所以可設(shè)直線的方程為.

由得.

易知判別式，設(shè)， ，則

， ①

所以，

所以的中點(diǎn)為.

因?yàn)樗倪呅?/span>是矩形，所以，且.

則，即，②

又因?yàn)?/span>， ，③

由①②③解得.

所以點(diǎn)，

所以圓的半徑.

（Ⅲ）當(dāng)圓的半徑為2時(shí)，由（Ⅱ）可知的中點(diǎn)為，

所以直線的斜率為，所以直線的方程為.

設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，因?yàn)辄c(diǎn)是弦的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)到直線的距離也為，

則.

因?yàn)辄c(diǎn)， 位于直線的異側(cè)，所以.

所以 .

又因?yàn)?/span>，

所以

所以四邊形面積

，其中.

可知當(dāng)時(shí)， ，

即四邊形面積的最小值為.