Question

（本小題滿分12分）已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，兩頂點(diǎn)間的距離為4，漸近線方程為
y=±2x．
（Ⅰ）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)（Ⅰ）中雙曲線的焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為，求以為焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)P（0，2）的橢圓方程．

Answer 1

解：（1）因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)所求雙曲線的方程為．
由題意，得解得a＝2，b＝1．
所求雙曲線的方程為…………………………………………6分
（2）由（Ⅰ）可求得F₁（0，－），F(xiàn)₂（0，）．
點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為F₁′（－，0），F(xiàn)₂′（，0），又P（0，2），設(shè)橢圓方程為（m＞n＞0）．
由橢圓定義，得2m=
因?yàn)閙²－n²＝5，所以n²＝4．
所以橢圓的方程為.………………………………………12分

略