【題目】某單位擬建一個(gè)扇環(huán)面形狀的花壇(如圖所示)，該扇環(huán)面是由以點(diǎn)
為圓心的兩個(gè)同心圓弧和延長后通過點(diǎn)
的兩條直線段圍成．按設(shè)計(jì)要求扇環(huán)面的周長為30米，其中大圓弧所在圓的半徑為10米.設(shè)小圓弧所在圓的半徑為
米，圓心角為
（弧度）．
（1）求
關(guān)于
的函數(shù)關(guān)系式；
（2）已知在花壇的邊緣(實(shí)線部分)進(jìn)行裝飾時(shí)，直線部分的裝飾費(fèi)用為4元/米，弧線部分的裝飾費(fèi)用為9元/米．設(shè)花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比為
，求
關(guān)于
的函數(shù)關(guān)系式，并求出
為何值時(shí)， 
取得最大值？
【答案】（1）
（2）
， 
【解析】試題分析：（1）根據(jù)已知條件，將周長
米為等量關(guān)系可以建立
滿足的關(guān)系式，再由此關(guān)系式進(jìn)一步得到函數(shù)解析式：
，即可解得
；（2）根據(jù)題意及（1）可得花壇的面積為
，裝飾總費(fèi)用為
，因此可得函數(shù)解析式
，而要求
的最大值，即求函數(shù)
的最大值，可以考慮采用換元法令
，從而
，再利用基本不等式，即可求得的最大值： 
，當(dāng)且僅當(dāng)
， 
時(shí)取等號，此時(shí)
，
，因此當(dāng)
時(shí)，花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比最大.
試題解析：（1）扇環(huán)的圓心角為
，則，∴， 3分
（2）由（1）可得花壇的面積為
， 6分
裝飾總費(fèi)用為
， 8分
∴花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的
， 10分
令
，則
，當(dāng)且僅當(dāng)
， 
時(shí)取等號，此時(shí)
，， 12分
答：當(dāng)
時(shí)，花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比最大． 13分
寒假學(xué)與練系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知
為橢圓
的右焦點(diǎn)， 
為
上的任意一點(diǎn).
（1）求
的取值范圍；
（2）
是
上異于
的兩點(diǎn)，若直線
與直線
的斜率之積為
，證明: 
兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為常數(shù).
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
:
的左右焦點(diǎn)分別為
，
，左頂點(diǎn)為
，點(diǎn)
在橢圓上，且
的面積為
.
（1）求橢圓的方程；
（2）過原點(diǎn)
且與
軸不重合的直線交橢圓于
，
兩點(diǎn)，直線
分別與
軸交于點(diǎn)
，
，.求證：以
為直徑的圓恒過交點(diǎn)，，并求出
面積的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，拋物線
的焦點(diǎn)為
，拋物線上一定點(diǎn)
．
（1）求拋物線
的方程及準(zhǔn)線
的方程；
（2）過焦點(diǎn)的直線（不經(jīng)過
點(diǎn)）與拋物線交于
兩點(diǎn)，與準(zhǔn)線交于點(diǎn)
，記
的斜率分別為
，問是否存在常數(shù)
，使得
成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】現(xiàn)有
六支足球隊(duì)參加單循環(huán)比賽（即任意兩支球隊(duì)只踢一場比賽），第一周的比賽中
，各踢了
場， 
各踢了
場， 
踢了
場，且
隊(duì)與
隊(duì)未踢過， 
隊(duì)與
隊(duì)也未踢過，則在第一周的比賽中， 
隊(duì)踢的比賽的場數(shù)是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】隨著共享單車的成功運(yùn)營，更多的共享產(chǎn)品逐步走入大家的世界，共享汽車、共享籃球、共享充電寶等各種共享產(chǎn)品層出不窮.某公司隨即抽取
人對共享產(chǎn)品是否對日常生活有益進(jìn)行了問卷調(diào)查，并對參與調(diào)查的
人中的性別以及意見進(jìn)行了分類，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：
男 | 女 | 總計(jì) | |
認(rèn)為共享產(chǎn)品對生活有益 |
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認(rèn)為共享產(chǎn)品對生活無益 |
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總計(jì) |
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（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過
的前提下，認(rèn)為對共享產(chǎn)品的態(tài)度與性別有關(guān)系？
（2）現(xiàn)按照分層抽樣從認(rèn)為共享產(chǎn)品增多對生活無益的人員中隨機(jī)抽取
人，再從
人中隨機(jī)抽取
人贈送超市購物券作為答謝，求恰有
人是女性的概率.
參與公式： 
臨界值表：
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某營養(yǎng)學(xué)家建議：高中生每天的蛋白質(zhì)攝入量控制在
（單位：克），脂肪的攝入量控制在
（單位：克），某學(xué)校食堂提供的伙食以食物
和食物
為主，1千克食物
含蛋白質(zhì)60克，含脂肪9克，售價(jià)20元；1千克食物
含蛋白質(zhì)30克，含脂肪27克，售價(jià)15元.
（1）如果某學(xué)生只吃食物
，判斷他的伙食是否符合營養(yǎng)學(xué)家的建議，并說明理由；
（2）為了花費(fèi)最低且符合營養(yǎng)學(xué)家的建議，學(xué)生需要每天同時(shí)食用食物
和食物
各多少千克？并求出最低需要花費(fèi)的錢數(shù).
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)函數(shù)
，其中
、
為已知實(shí)常數(shù)，
.
下列所有正確命題的序號是____________．
①若
，則
對任意實(shí)數(shù)
恒成立；
②若
，則函數(shù)
為奇函數(shù)；
③若
，則函數(shù)為偶函數(shù)；
④當(dāng)
時(shí)，若
，則
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知兩個(gè)定點(diǎn)
，
， 動(dòng)點(diǎn)
滿足
，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線
，直線
：
.
（1）求曲線的軌跡方程；
（2）若
是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過作曲線的兩條切線QM、QN，切點(diǎn)為
、
，探究：直線
是否過定點(diǎn)，若存在定點(diǎn)請寫出坐標(biāo)，若不存在則說明理由.
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