Question

【題目】已知，函數(shù).

（1）當(dāng)時，解不等式；

（2）若關(guān)于的方程的解集中恰有一個元素，求的值；

（3）設(shè)，若對任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）.

【解析】試題分析：（1）利用已知條件，將代入，解不等式，求出的取值范圍；（2）首先分情況進(jìn)行討論，利用僅有一解，即和的兩種情況進(jìn)行討論；（3）利用函數(shù)的單調(diào)性，最大值和最小值，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)換和化簡從而求出的取值范圍.

試題解析：（1）由得解得

（2）方程的解集中恰有一個元素.

等價于僅有一解，

等價于僅有一解，

當(dāng)時，，符合題意；

當(dāng)時，，解得

綜上：或

（3）當(dāng)時，，，

所以在上單調(diào)遞減.

函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，.

即，對任意成立.

因為，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以時，有最小值，由，得.

故的取值范圍為.