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          設數(shù)列a1，a2，…，an，…中的每一項都不為0，證明，{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何n∈N+都有。 
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          證明：先證必要性：
          設數(shù)列{an}的公差為d，若d=0，則所述等式顯然成立；
           若d≠0，
          則


          ；
          再證充分性：(數(shù)學歸納法)設所述的等式對一切n∈N+都成立，
          首先，在等式，① 
          兩端同乘a1a2a3，即得a1+a3=2a2，所以a1，a2，a3成等差數(shù)列，
          記公差為d，則a2=a1+d，
          假設ak=a1+(k-1)d，當n=k+1時，觀察如下二等式
          ，② 
          ，③
          將②代入③，得，
          在該式兩端同乘a1akak+1，得(k-1)，
          將ak=a1+(k-1)d代入其中，整理，得ak+1=a1+kd，
          由數(shù)學歸納法原理知，對一切n∈N+，都有an=a1+(n-1)d，所以{an}是公差為d的等差數(shù)列． 
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
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				相關習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          設數(shù)列a1，a2，…，an，…的前n項的和Sn與an的關系是Sn=-ban+1-
          1
          (1+b)n
          ，其中b是與n無關的常數(shù)，且b≠-1．
          （1）求an和an-1的關系式；
          （2）寫出用n和b表示an的表達式；
          （3）當0＜b＜1時，求極限
          lim
          n→∞
          Sn          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          設數(shù)列a1，a2，…，an，…的前n項的和Sn與an的關系是Sn=kan+1，（其中k是與n無關的常數(shù)，且k≠1）．
          （1）試寫出用n，k表示的an的表達式；
          （2）若
          limn→∞
          sn          =1，求k的取值范圍．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          設數(shù)列a1，a2，…，an，…中的每一項都不為0．證明：{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何n∈N，都有
          1
          a1a2
          +
          1
          a2a3
          +…+
          1
          anan+1
          =
          n
          a1an+1
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          設數(shù)列a1，a2，…，an，…滿足a1=a2=1，a3=2，且對任何自然數(shù)n，都有anan+1an+2≠1，又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，則a1+a2+…+a100的值是
          200
          200
          ．
          

			
          

			
          
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