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        1. 設(shè)數(shù)列a1,a2,…,an,…中的每一項(xiàng)都不為0,證明,{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是:對(duì)任何n∈N+都有
          證明:先證必要性:
          設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,若d=0,則所述等式顯然成立;
          若d≠0,



          ;
          再證充分性:(數(shù)學(xué)歸納法)設(shè)所述的等式對(duì)一切n∈N+都成立,
          首先,在等式,①
          兩端同乘a1a2a3,即得a1+a3=2a2,所以a1,a2,a3成等差數(shù)列,
          記公差為d,則a2=a1+d,
          假設(shè)ak=a1+(k-1)d,當(dāng)n=k+1時(shí),觀察如下二等式
          ,②
          ,③
          將②代入③,得,
          在該式兩端同乘a1akak+1,得(k-1),
          將ak=a1+(k-1)d代入其中,整理,得ak+1=a1+kd,
          由數(shù)學(xué)歸納法原理知,對(duì)一切n∈N+,都有an=a1+(n-1)d,所以{an}是公差為d的等差數(shù)列.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)數(shù)列a1,a2,…,an,…的前n項(xiàng)的和Sn與an的關(guān)系是Sn=-ban+1-
          1
          (1+b)n
          ,其中b是與n無關(guān)的常數(shù),且b≠-1.
          (1)求an和an-1的關(guān)系式;
          (2)寫出用n和b表示an的表達(dá)式;
          (3)當(dāng)0<b<1時(shí),求極限
          lim
          n→∞
          Sn

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)數(shù)列a1,a2,…,an,…的前n項(xiàng)的和Sn與an的關(guān)系是Sn=kan+1,(其中k是與n無關(guān)的常數(shù),且k≠1).
          (1)試寫出用n,k表示的an的表達(dá)式;
          (2)若
          limn→∞
          sn
          =1,求k的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)數(shù)列a1,a2,…,an,…中的每一項(xiàng)都不為0.證明:{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是:對(duì)任何n∈N,都有
          1
          a1a2
          +
          1
          a2a3
          +…+
          1
          anan+1
          =
          n
          a1an+1

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)數(shù)列a1,a2,…,an,…滿足a1=a2=1,a3=2,且對(duì)任何自然數(shù)n,都有anan+1an+2≠1,又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,則a1+a2+…+a100的值是
          200
          200

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