Question

設數列a₁，a₂，…，a_n，…中的每一項都不為0．證明：{a_n}為等差數列的充分必要條件是：對任何n∈N，都有

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

n

a1an+1

．

Answer 1

分析：先證必要性；設數列a_n的公差為d，若d=0，則所述等式顯然成立．
若d≠0，則

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

d

[(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)+…+ (

1

an

-

1

an+1

) ]=

n

a1an+1

．再用數學歸綱法證明充分性：對任何n∈N，都有

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

n

a1an+1

，{a_n}是公差為d的等差數列．

解答：證明：先證必要性
設數列a_n的公差為d，若d=0，則所述等式顯然成立．
若d≠0，則

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

d

[(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)+…+ (

1

an

-

1

an+1

) ]
=

1

d

(

1

a1

-

1

an+1

)=

n

a1an+1

．
再證充分性：
用數學歸納法證明：
①設所述的等式對一切n∈N都成立，首先在等式

1

a1a2

+

1

a2a3

=

2

a1a3

①
兩端同時乘a₁a₂a₃，即得a₁+a₃=2a₂，
所以a₁，a₂，a₃成等差數列，記公差為d，則a₂=a₁+d．
②假設a_k=a₁+（k-1）d，當n=k+1時，觀察如下二等式

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

ak-1ak

=

1

a1ak

②，

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+ 

1

ak-1ak

+

1

akak+1

=

k

a1ak+1

③將②代入③得

k-1

a1ak

+

1

akak+1

=

k

a1ak+1

，
在該式兩端同時乘a₁a_ka_k+1，得（k-1）a_k+1+a₁=ka_k，
把a_k=a₁+（k-1）d代入后，整理得a_k+1=a₁+kd．
由數學歸納法原理知對任何n∈N，都有

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

n

a1an+1

．
所以，{a_n}是公差為d的等差數列．

點評：本題考查等差數列、數學歸納法與充要條件等有關知識，考查推理論證、運算求解能力．