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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
          設數列a1,a2,…,an,…中的每一項都不為0.證明:{an}為等差數列的充分必要條件是:對任何n∈N,都有
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          a1a2
          +
          1
          a2a3
          +…+
          1
          anan+1
          =
          n
          a1an+1
          分析:先證必要性;設數列an的公差為d,若d=0,則所述等式顯然成立.
          若d≠0,則
          1
          a1a2
          +
          1
          a2a3
          +…+
          1
          anan+1
          =
          1
          d
          [(
          1
          a1
          -
          1
          a2
          )+(
          1
          a2
          -
          1
          a3
          )+…+ (
          1
          an
          -
          1
          an+1
          ) ]
          =
          n
          a1an+1
          .再用數學歸綱法證明充分性:對任何n∈N,都有
          1
          a1a2
          +
          1
          a2a3
          +…+
          1
          anan+1
          =
          n
          a1an+1
          ,{an}是公差為d的等差數列.
          解答:證明:先證必要性
          設數列an的公差為d,若d=0,則所述等式顯然成立.
          若d≠0,則
          1
          a1a2
          +
          1
          a2a3
          +…+
          1
          anan+1

          =
          1
          d
          [(
          1
          a1
          -
          1
          a2
          )+(
          1
          a2
          -
          1
          a3
          )+…+ (
          1
          an
          -
          1
          an+1
          ) ]

          =
          1
          d
          (
          1
          a1
          -
          1
          an+1
          )
          =
          n
          a1an+1

          再證充分性:
          用數學歸納法證明:
          ①設所述的等式對一切n∈N都成立,首先在等式
          1
          a1a2
          +
          1
          a2a3
          =
          2
          a1a3

          兩端同時乘a1a2a3,即得a1+a3=2a2,
          所以a1,a2,a3成等差數列,記公差為d,則a2=a1+d.
          ②假設ak=a1+(k-1)d,當n=k+1時,觀察如下二等式
          1
          a1a2
          +
          1
          a2a3
          +…+
          1
          ak-1ak
          =
          1
          a1ak
          ②,
          1
          a1a2
          +
          1
          a2a3
          +…+ 
          1
          ak-1ak
          +
          1
          akak+1
          =
          k
          a1ak+1
          將②代入③得
          k-1
          a1ak
          +
          1
          akak+1
          =
          k
          a1ak+1
          ,
          在該式兩端同時乘a1akak+1,得(k-1)ak+1+a1=kak
          把ak=a1+(k-1)d代入后,整理得ak+1=a1+kd.
          由數學歸納法原理知對任何n∈N,都有
          1
          a1a2
          +
          1
          a2a3
          +…+
          1
          anan+1
          =
          n
          a1an+1

          所以,{an}是公差為d的等差數列.
          點評:本題考查等差數列、數學歸納法與充要條件等有關知識,考查推理論證、運算求解能力.
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          1
          (1+b)n
          ,其中b是與n無關的常數,且b≠-1.
          (1)求an和an-1的關系式;
          (2)寫出用n和b表示an的表達式;
          (3)當0<b<1時,求極限
          lim
          n→∞
          Sn

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          (1)試寫出用n,k表示的an的表達式;
          (2)若
          limn→∞
          sn
          =1,求k的取值范圍.

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          200
          200

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          科目:高中數學 來源:安徽省高考真題 題型:證明題

          設數列a1,a2,…,an,…中的每一項都不為0,證明,{an}為等差數列的充分必要條件是:對任何n∈N+都有。

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