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        1. 設(shè)數(shù)列a1,a2,…,an,…中的每一項都不為0.證明:{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是:對任何n∈N,都有
          1
          a1a2
          +
          1
          a2a3
          +…+
          1
          anan+1
          =
          n
          a1an+1
          分析:先證必要性;設(shè)數(shù)列an的公差為d,若d=0,則所述等式顯然成立.
          若d≠0,則
          1
          a1a2
          +
          1
          a2a3
          +…+
          1
          anan+1
          =
          1
          d
          [(
          1
          a1
          -
          1
          a2
          )+(
          1
          a2
          -
          1
          a3
          )+…+ (
          1
          an
          -
          1
          an+1
          ) ]
          =
          n
          a1an+1
          .再用數(shù)學(xué)歸綱法證明充分性:對任何n∈N,都有
          1
          a1a2
          +
          1
          a2a3
          +…+
          1
          anan+1
          =
          n
          a1an+1
          ,{an}是公差為d的等差數(shù)列.
          解答:證明:先證必要性
          設(shè)數(shù)列an的公差為d,若d=0,則所述等式顯然成立.
          若d≠0,則
          1
          a1a2
          +
          1
          a2a3
          +…+
          1
          anan+1

          =
          1
          d
          [(
          1
          a1
          -
          1
          a2
          )+(
          1
          a2
          -
          1
          a3
          )+…+ (
          1
          an
          -
          1
          an+1
          ) ]

          =
          1
          d
          (
          1
          a1
          -
          1
          an+1
          )
          =
          n
          a1an+1

          再證充分性:
          用數(shù)學(xué)歸納法證明:
          ①設(shè)所述的等式對一切n∈N都成立,首先在等式
          1
          a1a2
          +
          1
          a2a3
          =
          2
          a1a3

          兩端同時乘a1a2a3,即得a1+a3=2a2,
          所以a1,a2,a3成等差數(shù)列,記公差為d,則a2=a1+d.
          ②假設(shè)ak=a1+(k-1)d,當(dāng)n=k+1時,觀察如下二等式
          1
          a1a2
          +
          1
          a2a3
          +…+
          1
          ak-1ak
          =
          1
          a1ak
          ②,
          1
          a1a2
          +
          1
          a2a3
          +…+ 
          1
          ak-1ak
          +
          1
          akak+1
          =
          k
          a1ak+1
          將②代入③得
          k-1
          a1ak
          +
          1
          akak+1
          =
          k
          a1ak+1
          ,
          在該式兩端同時乘a1akak+1,得(k-1)ak+1+a1=kak
          把ak=a1+(k-1)d代入后,整理得ak+1=a1+kd.
          由數(shù)學(xué)歸納法原理知對任何n∈N,都有
          1
          a1a2
          +
          1
          a2a3
          +…+
          1
          anan+1
          =
          n
          a1an+1

          所以,{an}是公差為d的等差數(shù)列.
          點評:本題考查等差數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法與充要條件等有關(guān)知識,考查推理論證、運算求解能力.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)數(shù)列a1,a2,…,an,…的前n項的和Sn與an的關(guān)系是Sn=-ban+1-
          1
          (1+b)n
          ,其中b是與n無關(guān)的常數(shù),且b≠-1.
          (1)求an和an-1的關(guān)系式;
          (2)寫出用n和b表示an的表達(dá)式;
          (3)當(dāng)0<b<1時,求極限
          lim
          n→∞
          Sn

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)數(shù)列a1,a2,…,an,…的前n項的和Sn與an的關(guān)系是Sn=kan+1,(其中k是與n無關(guān)的常數(shù),且k≠1).
          (1)試寫出用n,k表示的an的表達(dá)式;
          (2)若
          limn→∞
          sn
          =1,求k的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)數(shù)列a1,a2,…,an,…滿足a1=a2=1,a3=2,且對任何自然數(shù)n,都有anan+1an+2≠1,又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,則a1+a2+…+a100的值是
          200
          200

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:安徽省高考真題 題型:證明題

          設(shè)數(shù)列a1,a2,…,an,…中的每一項都不為0,證明,{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是:對任何n∈N+都有

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          同步練習(xí)冊答案