Question

如圖組合體中，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面ABB₁A₁是圓柱的軸截面，C是圓柱底面圓周上不與A，B重合一個(gè)點(diǎn)．
（1）求證：無(wú)論點(diǎn)C如何運(yùn)動(dòng)，平面A₁BC⊥平面A₁AC；
（2）當(dāng)C是弧AB的中點(diǎn)時(shí)，求四棱錐A₁-BCC₁B₁與圓柱的體積比．

Answer 1

【答案】分析：（I）欲證平面A₁BC⊥平面A₁AC，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面A₁BC內(nèi)一直線(xiàn)與平面A₁AC垂直，根據(jù)側(cè)面ABB₁A₁是圓柱的軸截面，C是圓柱底面圓周上不與A，B重合一個(gè)點(diǎn)，則AC⊥BC，又圓柱母線(xiàn)AA₁⊥平面ABC，BC屬于平面ABC，則AA₁⊥BC，又AA₁∩AC=A，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理可知BC⊥平面A₁AC，而B(niǎo)C屬于平面A₁BC，滿(mǎn)足定理所需條件；
（II）設(shè)圓柱的底面半徑為r，母線(xiàn)長(zhǎng)度為h，當(dāng)點(diǎn)C是弧的中點(diǎn)時(shí)，求出三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積，求出三棱錐A₁-ABC的體積為，從而求出四棱錐A₁-BCC₁B₁的體積，再求出圓柱的體積，即可求出四棱錐A₁-BCC₁B₁與圓柱的體積比．
解答：解：（I）因?yàn)閭?cè)面ABB₁A₁是圓柱的軸截面，C是圓柱底面圓周上不與A，B重合一個(gè)點(diǎn)，所以AC⊥BC（2分）
又圓柱母線(xiàn)AA₁⊥平面ABC，BC屬于平面ABC，所以AA₁⊥BC，
又AA₁∩AC=A，所以BC⊥平面A₁AC，
因?yàn)锽C?平面A₁BC，所以平面A₁BC⊥平面A₁AC；（6分）

（II）設(shè)圓柱的底面半徑為r，母線(xiàn)長(zhǎng)度為h，
當(dāng)點(diǎn)C是弧的中點(diǎn)時(shí)，三角形ABC的面積為r²，
三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積為r²h，
三棱錐A₁-ABC的體積為，
四棱錐A₁-BCC₁B₁的體積為r²h-=，（10分）
圓柱的體積為πr²h，
四棱錐A₁-BCC₁B₁與圓柱的體積比為2：3π．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面的位置關(guān)系，以及幾何體的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．