Question

如圖所示，多面體ABCDS中，四邊形ABCD為矩形，SD⊥AD，SD⊥AB，且AB=2AD=2，SD=

3

AD，M、N分別為AB、CD中點(diǎn)．
（1）求證：SM⊥AN；
（2）求二面角A-SC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出SM，AN的方向向量，進(jìn)而根據(jù)向量垂直的充要條件，得到結(jié)論；
（2）分別求出平面ASC的法向量和平面SDC的一個(gè)法向量，代入向量夾角公式可和答案．

解答：證明：（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則
A（0，1，0），N（0，0，1），S（

3

，0，0），M（0，1，1），C（0，0，2），
-----------------------（3分
）

AN

=(0，-1，  1)，

SM

=(-

3

，  1，  1)，-----------------------（6分）
于是

AN

•

SM

=0×(-

3

)+(-1)×1+1×1=0，
所以SM⊥SM．-----------------------（8分）
（2）設(shè)平面ASC的法向量為

n1

=(x，y，z)，

AS

=(

3

，-1， 0)，

AC

=(0，  -1，  2)，
則

n1

•

AS

=

3

x-y=0且

n1

•

AC

=-y+2z=0，
令z=3，則x=2

3

，  y=6.

n1

=(2

3

，  6，  3)．-----------------------（12分）
又平面SDC的一個(gè)法向量

n2

=(0，  1，  0)．-----------------------（13分）
設(shè)二面角A-SC-D的平面角為θ，則cosθ=|cos?

n1

，  

n2

＞|=

6

1× 57

=

6 57

57

=

2 57

19

，
所以二面角A-SC-D的余弦值為

2 57

19

．-----------------------（16分）

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是有空間向量求平面間的夾角，建立空間坐標(biāo)系將空間線線垂直及二面角轉(zhuǎn)化為向量垂直及向量夾角問題是解答的關(guān)鍵．