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        1. 如圖所示,多面體ABCDS中,四邊形ABCD為矩形,SD⊥AD,SD⊥AB,且AB=2AD=2,SD=
          3
          AD
          ,M、N分別為AB、CD中點(diǎn).
          (1)求證:SM⊥AN;
          (2)求二面角A-SC-D的余弦值.
          分析:(1)建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出SM,AN的方向向量,進(jìn)而根據(jù)向量垂直的充要條件,得到結(jié)論;
          (2)分別求出平面ASC的法向量和平面SDC的一個(gè)法向量,代入向量夾角公式可和答案.
          解答:證明:(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則
          A(0,1,0),N(0,0,1),S(
          3
          ,0,0),M(0,1,1),C(0,0,2),
          -----------------------(3分
          AN
          =(0,-1,  1)
          ,
          SM
          =(-
          3
          ,  1,  1)
          ,-----------------------(6分)
          于是
          AN
          SM
          =0×(-
          3
          )+(-1)×1+1×1=0
          ,
          所以SM⊥SM.-----------------------(8分)
          (2)設(shè)平面ASC的法向量為
          n1
          =(x,y,z)
          ,
          AS
          =(
          3
          ,-1, 0)
          AC
          =(0,  -1,  2)
          ,
          n1
          AS
          =
          3
          x-y=0
          n1
          AC
          =-y+2z=0

          令z=3,則x=2
          3
          ,  y=6
          .
          n1
          =(2
          3
          ,  6,  3)
          .-----------------------(12分)
          又平面SDC的一個(gè)法向量
          n2
          =(0,  1,  0)
          .-----------------------(13分)
          設(shè)二面角A-SC-D的平面角為θ,則cosθ=|cos?
          n1
          ,  
          n2
          >|=
          6
          57
          =
          6
          57
          57
          =
          2
          57
          19
          ,
          所以二面角A-SC-D的余弦值為
          2
          57
          19
          .-----------------------(16分)
          點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是有空間向量求平面間的夾角,建立空間坐標(biāo)系將空間線線垂直及二面角轉(zhuǎn)化為向量垂直及向量夾角問(wèn)題是解答的關(guān)鍵.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          如圖所示的多面體,它的正視圖為直角三角形,側(cè)視圖為矩形,俯視圖為直角梯形(尺寸如圖所示)
          精英家教網(wǎng)
          (1)求證:AE∥平面DCF;
          (2)當(dāng)AB的長(zhǎng)為
          92
          ,∠CEF=90°時(shí),求二面角A-EF-C的大。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          精英家教網(wǎng)在如圖所示的多面體中,已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直,EC⊥AC,EF∥AC,AB=
          2
          ,EF=EC=1,
          (1)求證:平面BEF⊥平面DEF;
          (2)求二面角A-BF-E的大。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          在如圖所示的多面體中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC.BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G為BC的中點(diǎn).
          (1)求證:AB∥平面DEG;
          (2)求證:BD⊥EG;
          (3)求二面角C-DF-E的正弦值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2009•聊城二模)如圖所示的多面體,它的正視圖為直角三角形,側(cè)視圖為矩形,俯視圖為直角梯形(尺寸如圖所示)

          (1)求證:AE∥平面DCF;
          (2)若M是AE的中點(diǎn),AB=3,∠CEF=90°,求證:平面AEF⊥平面BMC.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          如圖所示,多面體EF-ABCD中,ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥DC,∠ABC=60°,F(xiàn)C⊥平面ABCD,正△ADE⊥平面ABCD,FC=2DC=6,AD=2
          3
          ,H為AD中點(diǎn).
          (1)求證:BC⊥平面EFCH;
          (2)求二面角H-BF-C的平面角的余弦值.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案