Question

在如圖所示的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC．BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G為BC的中點(diǎn)．
（1）求證：AB∥平面DEG；
（2）求證：BD⊥EG；
（3）求二面角C-DF-E的正弦值．

Answer 1

分析：（1）要證AB∥平面DEG，可在平面DEG中找到一條直線與AB平行，根據(jù)題目給出的條件，能夠證得AB∥DG；
（2）根據(jù)題目條件先證明EB、EA、EF兩兩相互垂直，然后以E為原點(diǎn)，以EB、EF、EA所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量數(shù)量積等于0

BD

⊥

EG

，從而證明BD⊥EG；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，求出二面角的兩個半平面的法向量，利用法向量求二面角的平面角的余弦值．

解答：（1）證明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC，
∵BC=2AD，G為BC的中點(diǎn)，∴AD∥BG，且AD=BG，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DG
因?yàn)锳B不在平面DEG中，DG在平面DEG內(nèi)，∴AB∥平面DEG．
（2）證明：∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，BE?平面AEB，
∴EF⊥AE，EF⊥BE，∵AE⊥EB，∴EB、EF、EA兩兩垂直．
以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EB、EF、EA所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知得：A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，2，2），F(xiàn)（0，3，0），G（2，2，0）．
∵

EG

=(2，2，0)，

BD

=(-2，2，2)，∴

BD

•

EG

=-2×2+2×2+2×0=0
∴BD⊥EG．
（3）解：由已知得

EB

=(2，0，0)是平面EFDA的法向量，設(shè)平面DCF的法向量為

n

=(x，y，z)
∵

FD

=(0，-1，2)，

FC

=(2，1，0)，∴

-y+2z=0 2x+y=0

，令z=1，得x=-1，y=2，即

n

=(-1，2，1)．
設(shè)二面角C-DF-E的大小為θ，
則cosθ=

n • EB

| n || EB |

=-

6

6

，∴sinθ=

30

6

∴二面角C-DF-E的正弦值為

30

6

．

點(diǎn)評：本題考查了直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了運(yùn)用平面法向量求二面角的三角函數(shù)值，解答此題的關(guān)鍵是正確建立空間直角坐標(biāo)系，是中檔題