Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD，底面是以O(shè)為中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD= ，M為BC上的一點(diǎn)，且BM= ，MP⊥AP．

（1）求PO的長；
（2）求二面角A﹣PM﹣C的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接AC，BD，

∵底面是以O(shè)為中心的菱形，PO⊥底面ABCD，

故AC∩BD=O，且AC⊥BD，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OP方向?yàn)閤，y，z軸正方向建立空間坐標(biāo)系O﹣xyz，

∵AB=2，∠BAD= ，

∴OA=ABcos（ ∠BAD）= ，OB=ABsin（ ∠BAD）=1，

∴O（0，0，0），A（ ，0，0），B（0，1，0），C（﹣ ，0，0），

=（0，1，0）， =（﹣ ，﹣1，0），

又∵BM= ，

∴ =（﹣ ，﹣ ，0），

則 = + =（﹣ ， ，0），

設(shè)P（0，0，a），則 =（﹣ ，0，a）， =（ ，﹣ ，a），

∵M(jìn)P⊥AP，

∴ = ﹣a2=0，

解得a= ，

即PO的長為 ．

（2）解：由（1）知 =（﹣ ，0， ）， =（ ，﹣ ， ）， =（ ，0， ），

設(shè)平面APM的法向量 =（x，y，z），平面PMC的法向量為 =（a，b，c），

由 ，得 ，

令x=1，則 =（1， ，2），

由 ，得 ，

令a=1，則 =（1，﹣ ，﹣2），

∵平面APM的法向量 和平面PMC的法向量 夾角θ滿足：

cosθ= = =﹣

故sinθ= =

【解析】（1）連接AC，BD，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OP方向?yàn)閤，y，z軸正方向建立空間坐標(biāo)系O﹣xyz，分別求出向量 ， 的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)MP⊥AP，得到 =0，進(jìn)而求出PO的長；（2）求出平面APM和平面PMC的法向量，代入向量夾角公式，求出二面角的余弦值，進(jìn)而根據(jù)平方關(guān)系可得：二面角A﹣PM﹣C的正弦值