Question

【題目】已知函數(shù).

(1)求的單調區(qū)間；

(2)若，求證：函數(shù)只有一個零點，且.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是和當時，. 所以，函數(shù)的單調遞減區(qū)間是當時，，函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是和；（Ⅱ）證明見解析

【解析】

試題（Ⅰ）先求出函數(shù)的定義域，求出函數(shù)的導數(shù)，再令，求得解，

討論當時及，列出函數(shù)與隨的變化情況得到函數(shù)的單調區(qū)間

（Ⅱ）當時，由（Ⅰ）知，函數(shù)的極小值，極大值，并且極小值與極大值均大于0，又由函數(shù)在是減函數(shù)，可得至多有一個零點，又由可得函數(shù)只有一個零點，且，得到證明

試題解析：（Ⅰ）解：的定義域為.

令，或

當時，，函數(shù)與隨的變化情況如下表：

所以，函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是和

當時，. 所以，函數(shù)的單調遞減區(qū)間是

當時，，函數(shù)與隨的變化情況如下表：

所以，函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是和.

（Ⅱ）證明：當時，由（Ⅰ）知，的極小值為，極大值為.

因為，且又由函數(shù)在是減函數(shù)，可得至多有一個零點. 又因為，所以 函數(shù)只有一個零點，且.