Question

【題目】橢圓的離心率為，且過點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)為橢圓上任一點(diǎn)， 為其右焦點(diǎn)， 是橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)滿足.

①證明： 為定值；

②設(shè)是直線上的任一點(diǎn)，直線分別另交橢圓于兩點(diǎn)，求的最小值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)①.證明見解析；②.3.

【解析】試題分析：（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代人橢圓方程，與離心率聯(lián)立方程組解得a.b,（2）①根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，代入橢圓方程化簡(jiǎn)可得，再求比值即可，②先設(shè)，根據(jù)點(diǎn)斜式可得直線， 方程，分別與橢圓方程聯(lián)立解得兩點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)焦半徑公式可得，最后根據(jù)基本不等式求最小值.

試題解析：（1）由得，

把點(diǎn)代入橢圓方程為，∴得，

∴，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）由（1）知，

，

而，∴為定值；

②設(shè)若，則，

若，因?yàn)?/span>，

直線，直線，

由整理得，

∴，得，

由整理得，

∴，得，

由①知，

∴，

∵（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)）

∴，即的最小值為3.