Question

【題目】已知函數(shù)，其中．

（1）若時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍，并證明；

（2）若時(shí)，不等式對于任意總成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；證明詳見解析；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)可得在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，也就是方程有兩個(gè)不等實(shí)根，用判別式可求實(shí)數(shù)的取值范圍，再利用韋達(dá)定理用來表示，結(jié)合的范圍可證.

（2）對于任意總成立等價(jià)于對于總成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可求，從而可求的取值范圍.

解：（1），，其定義域?yàn)?/span>.

由已知，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，

即方程有兩個(gè)不等實(shí)根，

，結(jié)合得，.

由二次方程根與系數(shù)的關(guān)系知，，

.

又由于，故，

故.

（2）當(dāng)時(shí)，，

注意到時(shí)總成立，得.

又不等式等價(jià)于，即對于總成立.

設(shè)，則，

設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，是增函數(shù).

所以，故在是增函數(shù)，

，故，結(jié)合，所以.