Question

【題目】已知函數(shù)，，給出如下四個命題：

①的單調(diào)遞增區(qū)間為；

②時，的極小值點為；

③時，在上存在唯一零點；

④若在（為自然對數(shù)的底數(shù)）上的最小值為3，則．

其中的真命題有______．（填上你認為所有正確的結(jié)論序號

Answer 1

【答案】②④

【解析】

求出函數(shù)的定義域以及導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)的取值范圍以及函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷①；根據(jù)極小值點的定義可判斷②；根據(jù)零點存在性定理可判斷③；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷④.

函數(shù)的定義域為，，

當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，解得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故①錯誤；

當(dāng)時，，令，解得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，

令，解得，函數(shù)在單調(diào)遞減，

所以的極小值點為，故②正確；

當(dāng)時，由，

當(dāng)時，函數(shù)有唯一一個零點；

當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，

單調(diào)遞減區(qū)間為，，

當(dāng)時，即時，函數(shù)有兩個零點；

時，僅有一個零點；，函數(shù)無零點，故③錯誤；

當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，

解得，顯然不成立；

當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，

當(dāng)時，即，，解得，成立；

當(dāng)，即，，解得，顯然不成立，

故④正確；

故答案為：②④