Question

【題目】圓周上有個(gè)白點(diǎn),先將其中一個(gè)染為黑色(稱為第一次染色),對(duì)任何正整數(shù),第次染色后按逆時(shí)針方向間隔個(gè)點(diǎn)將下個(gè)點(diǎn)染成與原來顏色相反的顏色(稱為第次染色).

(1)對(duì)給定正整數(shù),是否存在正整數(shù),使次染色后個(gè)點(diǎn)均為白色？

(2)對(duì)給定正整數(shù),是否存在正整數(shù),使次染色后個(gè)點(diǎn)均為黑色？

Answer 1

【答案】(1)存在(2) 不存在

【解析】

設(shè)個(gè)點(diǎn)按逆時(shí)針方向編號(hào)為1,2,…,.對(duì)固定的,記第次染色的點(diǎn)的編號(hào)為,稱為染色數(shù)列.

不妨設(shè).則

注意到,染色數(shù)列是二階等差數(shù)列,即,其中編號(hào)在模意義下.

(1)顯然,第次染色后個(gè)點(diǎn)均為白色,等價(jià)于染色數(shù)列的前項(xiàng)中每個(gè)數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)均為偶數(shù).分別考慮的情形,各染色數(shù)列如下表:

n											最小次數(shù)
2	1										2
3	1	3									4
4	1	3									6
5	1	3									8
6	1	3									10

由此猜想, 個(gè)點(diǎn)時(shí),經(jīng)過次染色,全變成白色.

下面通過配對(duì)的方法證明：在前次染色中,第次與第次染同一個(gè)點(diǎn),從而,每個(gè)點(diǎn)均被染偶數(shù)次(包括0次),均變?yōu)榘咨?/span>.

事實(shí)上,

(2)對(duì)任何正整數(shù),均不存在正整數(shù),使次染色后全部變黑.

首先, ,即染色數(shù)列(關(guān)于模)是以為周期的周期數(shù)列,且 (即第次與第次染色的是同個(gè)點(diǎn)).

事實(shí)上,.

考慮前次染色中染色的總次數(shù),發(fā)現(xiàn)至少有一個(gè)點(diǎn)未染色.

由(1),知第次與第次染色的是同一個(gè)點(diǎn),于是,在前次染色中,被染過色的點(diǎn)均至少染過兩次顏色從而,至多有個(gè)點(diǎn)被染過顏色,即至少有個(gè)點(diǎn)從未被染過色,故前次染色中不可能出現(xiàn)全黑的情形.

而第次染色后全白,故,第次染色后只有一個(gè)黑子.又,第次染色后全白,于是,前次染色中不可能出現(xiàn)全黑的情形.

由周期性,任何時(shí)候均不可能出現(xiàn)全黑的情形.