Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，且.

（1）過(guò)作截面與線段交于點(diǎn)H，使得平面，試確定點(diǎn)H的位置，并給出證明；

（2）在（1）的條件下，若二面角的大小為，試求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）H為線段上靠近點(diǎn)P的五等分點(diǎn)，即，證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）連接交于點(diǎn)．證明，即可證明平面．

（2）以，為x，y軸的正方向，過(guò)點(diǎn)D作平面的垂線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求解直線與平面所成角的正弦值即可．

（1）如圖，連接交于點(diǎn)E，

由，易知相似于.

∴，

又平面，平面平面，

∴，

∴，即H為線段上靠近點(diǎn)P的五等分點(diǎn)，即.

（2）由，相似于，可得，

∵平面平面，且平面平面，∴平面，

∴為二面角的平面角，∵，∴，

又，∴，，

又易知，∴平面，即是平面的法向量，

如圖，以，為x，y軸的正方向，過(guò)點(diǎn)D作平面的垂線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，∴，，

∴，直線與平面所成角的正弦值為.