Question

橢圓

x2

25

+

y2

16

=1．點A（2，1），B（3，0），點P為橢圓上的動點．則|PA|+|PB|的最大值

10+

26

．

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓的方程，算出它的焦點坐標(biāo)為B（3，0）和B'（-3，0）．因此連接PB'、AB'，根據(jù)橢圓的定義得|PA|+|PB|=|PA|+（2a-|PB'|）=10+（|PA|-|PB'|）．再由三角形兩邊之差小于第三邊，得到當(dāng)且僅當(dāng)點P在AB'延長線上時，|PA|+|PB|=10+|AB'|=15達到最大值，從而得到本題答案．

解答：解：∵橢圓方程為

x2

25

+

y2

16

=1，
∴焦點坐標(biāo)為B（3，0）和B'（-3，0）
連接PB'、AB'，根據(jù)橢圓的定義，得|PB|+|PB'|=2a=10，可得|PB|=10-|PB'|
因此，|PA|+|PB|=|PA|+（10-|PB'|）=10+（|PA|-|PB'|）
∵|PA|-|PB'|≤|AB'|
∴|PA|+|PB|≤10+|AB'|=10+

(2+3)2+(1-0)2

=10+

26

．
當(dāng)且僅當(dāng)點P在AB'延長線上時，等號成立
綜上所述，可得|PA|+|PB|的最大值為10+

26

故答案為：10+

26

．

點評：本題給出橢圓內(nèi)部一點A，求橢圓上動點P與A點和一個焦點距離B和的最大值，著重考查了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．