Question

已知向量

m

=（cosx，1-asinx），

n

=（cosx，2），設f（x）=

m

•

n

，且函數(shù)f（x）的最大值為g（a）．
（Ⅰ）求函數(shù)g（a）的解析式．
（Ⅱ）設0≤θ≤2π，求函數(shù)（2cosθ+1）的最大值和最小值以及對應的值．

Answer 1

（Ⅰ）由題意知f（x）=

m

•

n

=cos²x+2-2asinx=-sin²x-2asinx+3，
令t=sinx，則-1≤t≤1，從而h（t）=-t²-2at+3=-（t+a）²+a²+3，t∈[-1，1]．
對稱軸為t=-a．
①當-a≤-1，即a≥1時，
h（t）=-t²-2at+3在t∈[-1，1]上單調遞減，h（t）_max=h（-1）=2a+2；
②當-1＜-a＜1，即-1＜a＜1時，h（t）在[-1，-a]上單調遞增，在[-a，1]上單調遞減，∴h(t)max=h(-a)=a2+3．
③-a≥1，即a≤-1，h（t）=-t²-2at+3在t∈[-1，1]上單調遞增，h（t）_max=h（1）=-2a+2；
綜上，g(a)=

-2a+2，a≤-1 a2+3，-1＜a＜1 2a+2，a≥1

．
（2）由0≤θ＜2π知，-1≤2cosθ+1≤3．
又因為g（a）在[-1，0]上單調遞減，在[0，3]上單調遞增，
所以g（2cosθ+1）_max=max{g（-1），g（3）}=g（3）=8．θ=0；
g（2cosθ+1）_min=g（0）=3，θ=

2

3

π．