Question

已知的圖像過原點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線與軸平行，對(duì)任意，都有.
(1)求函數(shù)在點(diǎn)處切線的斜率；
(2)求的解析式；
(3)設(shè)，對(duì)任意，都有.求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）1；（2）；（3）.

試題分析：（1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，知所求切線的斜率為，然后根據(jù)：對(duì)任意，都有，即可得到，進(jìn)而可得；（2）先由函數(shù)圖像過原點(diǎn)確定，進(jìn)而由導(dǎo)數(shù)的幾何意義與（1）中的導(dǎo)數(shù)值，可列出方程組即，解出，代入不等式得到，該不等式恒成立，可得，從中就可以確定的值，進(jìn)而可寫出函數(shù)的解析式；（3）先將：對(duì)任意，都有等價(jià)轉(zhuǎn)化為，先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值為，于是變成了對(duì)恒成立問題，采用分離參數(shù)法得到時(shí)，恒成立，進(jìn)一步等價(jià)轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而再利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的最值即可.
試題解析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，函數(shù)在點(diǎn)處切線的斜率就是
因?yàn)閷?duì)任意，都有
所以
所以即函數(shù)在點(diǎn)處切線的斜率為1
（2）依題意知，而
因?yàn)楹瘮?shù)的圖像在點(diǎn)處的切線與軸平行
所以     ①
而       ②
由①②可解得
因?yàn)閷?duì)任意，都有即恒成立

所以
（3）由（2）得
所以
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，此時(shí)
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，此時(shí)
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824054918195707.png" style="vertical-align:middle;" />
所以當(dāng)時(shí)，
因?yàn)閷?duì)任意，都有
所以，都有即，所以
令
所以
關(guān)注到，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增
所以
所以.