Question

（文科）已知直線l：y=

3

x和點(diǎn)P( 

3

，1)，過(guò)點(diǎn)P的直線m與直線l在第一象限交于點(diǎn)Q，與x軸交于點(diǎn)M，若△OMQ為等邊三角形．
（I）求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（II）求△OMQ的內(nèi)切圓方程．

Answer 1

分析：（I）因?yàn)橹本�l：y=

3

x的傾斜角為60°，要使△OMQ為等邊三角形，直線m的斜率應(yīng)為-

3

，利用斜率公式可求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（II）由于等邊三角形的內(nèi)切圓的圓心，也是三角形的重心，故可利用重心坐標(biāo)公式，求出圓心坐標(biāo)，從而得到圓的方程．

解答：解：（I）因?yàn)橹本�l：y=

3

x的傾斜角為60°，要使△OMQ為等邊三角形，直線m的斜率應(yīng)為-

3

設(shè)Q(x，

3

x)，則

3 x-1

x- 3

=-

3

，解得x=

2

3

3

，∴Q(

2

3

3

，2)
（II）由（I）得直線m的方程為y-1=-

3

(x-

3

)
令y=0，得x=

4

3

3

∴M(

4

3

3

，0)
∵等邊三角形的內(nèi)切圓的圓心，也是三角形的重心
設(shè)圓心坐標(biāo)為（x，y）
∴根據(jù)三角形的重心坐標(biāo)公式可得

x= 2 3 3 y= 2 3

又半徑為

2

3

∴所求圓的方程為(x-

2

3

3

)2+(y-

2

3

)2=

4

9

點(diǎn)評(píng)：本題以直線為載體，考查直線的斜率公式，考查圓的方程，屬于中檔題．