Question

下列命題：
①終邊在坐標軸上的角的集合是{α|α=

kπ

2

，k∈Z}；
②若2sinx=1+cosx，則tan

x

2

必為

1

2

；
③ab=0，asinx+bcosx=

a2+b2

sin（x+φ），（|φ|＜π）中，若a＞0，則φ=arctan

b

a

；
④函數(shù)y=sin（

1

2

x-

π

6

）在區(qū)間[-

π

3

，

11π

6

]上的值域為[-

3

2

，

2

2

]；
⑤方程sin（2x+

π

3

）-a=0在區(qū)間[0，

π

2

]上有兩個不同的實數(shù)解x₁，x₂，則x₁+x₂=

π

6

．
其中正確命題的序號為

①③⑤

．

Answer 1

分析：①根據(jù)終邊在x軸上的角的集合為{α|α=kπ=

2kπ

2

，k∈Z}，終邊在y軸上的角的集合為{α|α=kπ+

π

2

=

(2k+1)π

2

，k∈Z}即可判斷出①正確．
②可取x=π符合條件但結(jié)論不成立．
③此結(jié)論是常用的輔助角公式故正確．
④令t=

1

2

x-

π

6

則由x的范圍求出t的范圍再結(jié)合y=sint的圖象以及t的范圍即可判斷出此命題的正誤．
⑤利用換元法再結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想可作出判斷．

解答：解：①由于終邊在x軸上的角的集合為{α|α=kπ=

2kπ

2

，k∈Z}，終邊在y軸上的角的集合為{α|α=kπ+

π

2

=

(2k+1)π

2

，k∈Z}所以終邊在坐標軸上的角的集合為{α|α=kπ=

2kπ

2

，k∈Z}∪{α|α=kπ+

π

2

=

(2k+1)π

2

，k∈Z}={α|α=

kπ

2

，k∈Z}故①對
②由于當x=π時2sinx=1+cosx仍成立但tan

x

2

=tan

π

2

沒意義故②錯
③當ab≠0時asinx+bcosx=

a2+b2

（

a

a2+  b2

sinx+

b

a2+b2

cosx）由于(

a

a2+b2

)2+(

b

a2+b2

)2=1故可令cos∅=

a

a2+  b2

則sin∅=

b

a2+b2

所以asinx+bcosx=

a2+b2

sin（x+φ）（|φ|＜π）中，若a＞0，則φ=arctan

b

a

故③對
④令t=

1

2

x-

π

6

則由于x∈[-

π

3

，

11π

6

]故t∈[-

π

3

，

3π

4

]結(jié)合函數(shù)y=sint在t∈[-

π

3

，

3π

4

]上的圖象可知其值域為[-

3

2

，1]故④錯
⑤令y=sin（2x+

π

3

）=sint則t∈[

π

3

，

4π

3

]在同一直角坐標系中作出y=sint，t∈[

π

3

，

4π

3

]的圖象和y=a使得兩圖象有兩個交點則可得t₁+t₂=π即2x1+

π

3

+2x2+ 

π

3

=π所以x₁+x₂=

π

6

故⑤對
故答案為 ①③⑤

點評：本題主要考查了命題真假的判斷．解題的關鍵是把握住此類問題的判斷準則“正確的給出證明，錯誤的舉出反例”！