Question

cos（

π

2

+x）=(

1

2

)x在x∈[0，100π]上的實(shí)數(shù)解的個數(shù)是（　　）

• A、98
• B、100
• C、102
• D、200

Answer 1

分析：分析函數(shù)y=cos（

π

2

+x）與函數(shù)y=(

1

2

)x在x∈[0，100π]上的值域及性質(zhì)，主要是函數(shù)y=cos（

π

2

+x）在一個周期上與函數(shù)y=(

1

2

)x的交點(diǎn)的個數(shù)，進(jìn)而得到函數(shù)y=cos（

π

2

+x）與函數(shù)y=(

1

2

)x在x∈[0，100π]上的交點(diǎn)的個數(shù)，即可得到cos（

π

2

+x）=(

1

2

)x在x∈[0，100π]上的實(shí)數(shù)解的個數(shù)

解答：解：∵函數(shù)y=cos（

π

2

+x）=-sinx在的周期為2π，在x∈[0，100π]上的值域?yàn)閇-1，1]
函數(shù)y=(

1

2

)x在x∈[0，100π]上的值域?yàn)閇(

1

2

)100π，1]?[-1，1]
則在每一個周期上函數(shù)y=cos（

π

2

+x）=-sinx的圖象與函數(shù)y=(

1

2

)x的圖象都有2個交點(diǎn)
故函數(shù)y=cos（

π

2

+x）與函數(shù)y=(

1

2

)x在x∈[0，100π]上共有50×2=100個交點(diǎn)
故cos（

π

2

+x）=(

1

2

)x在x∈[0，100π]上共有100個實(shí)數(shù)解
故選B．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是余弦函數(shù)的圖象，指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中根據(jù)函數(shù)解析式，分析出兩個函數(shù)的x∈[0，100π]上的值域，然后討論函數(shù)y=cos（

π

2

+x）一個周期上與函數(shù)y=(

1

2

)x圖象交點(diǎn)的個數(shù)，是解答本題的關(guān)鍵．