Question

中心在原點，焦點在x軸上的橢圓，率心率，此橢圓與直線交于A、B兩點，且OA⊥OB（其中O為坐標原點）．
（1）求橢圓方程；
（2）若M是橢圓上任意一點，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的兩個焦點，求∠F₁MF₂的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)橢圓方程為.． ，，a²=2b²．橢圓方程化簡為 ．橢圓與直線相交，解方程組：，由此能導出所求橢圓．
（2）在橢圓中，，|MF₁|+|MF₂|=2a，
=，其中：a≤|MF₂|≤a+c．由此能導出．
解答：解：（1）設(shè)橢圓方程為.．
∵，，a²=2b²．
∴橢圓方程化簡為 ．
∵橢圓與直線相交，解方程組：，
由①代入②，代簡得．
根據(jù)韋達定理，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵OA⊥OB，x₁x₂+y₁y₂=0，③
由②得，
把④代入③，得，
∴b²=1
∴所求橢圓為．
（2）在橢圓中，，
∵|MF₁|+|MF₂|=2a，
∴
=
=
=
=
其中：a≤|MF₂|≤a+c．
當|MF₂|=a時，cos∠F₁MF₂有最小值為0，
此時，∠F₁MF₂有最大值為，
當|MF₂|=a+c時，即M點與橢圓長軸左端點重合，∠F₁MF₂有最小值為0，故．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．