Question

已知橢圓w的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長為4，離心率為

6

3

，△ABC的頂點(diǎn)A，B在橢圓w上，C在直線l：y=x+2上，且AB∥l．
（1）求橢圓w的方程；
（2）當(dāng)AB邊通過坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)，求AB的長及△ABC的面積；
（3）當(dāng)∠ABC=90°，且斜邊AC的長最大時(shí)，求AB所在直線的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先設(shè)出橢圓方程，根據(jù)題意可得a，根據(jù)離心率可得c，進(jìn)而求得b，橢圓方程可得．
（Ⅱ）根據(jù)AB∥l，且AB邊通過點(diǎn)（0，0）進(jìn)而可設(shè)AB所在直線的方程為y=x．設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．直線方程和橢圓方程聯(lián)立求得x，進(jìn)而求得|AB|，根據(jù)AB邊上的高h(yuǎn)等于原點(diǎn)到直線l的距離．求得三角形ABC的高，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式可得答案．
（Ⅲ）設(shè)AB所在直線的方程為y=x+m，直線和橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別式大于0求得m的范圍，設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理求得|AB|的表達(dá)式，根據(jù)BC的長等于點(diǎn)（0，m）到直線l的距離求得|BC|的表達(dá)式，最后根據(jù)勾股定理求得|AC|²的表達(dá)式，進(jìn)而確定AC最大時(shí)m的值，直線方程可得．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a 2

+

y2

b2

=1，依題意可知a=2，

c

a

=

6

3

，∴b=

a2-c2

=

2 3

3

∴橢圓w的方程為x²+3y²=4．
（Ⅱ）因?yàn)锳B∥l，且AB邊通過點(diǎn)（0，0），所以AB所在直線的方程為y=x．
設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
由

x2+3y2=4 y=x

得x=±1．
所以|AB|=

2

|x1-x2|=2

2

．
又因?yàn)锳B邊上的高h(yuǎn)等于原點(diǎn)到直線l的距離．
所以h=

2

，S△ABC=

1

2

|AB|•h=2．
（Ⅲ）設(shè)AB所在直線的方程為y=x+m，
由

x2+3y2=4 y=x+m

得4x²+6mx+3m²-4=0．
因?yàn)锳，B在橢圓上，
所以△=-12m²+64＞0．
設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x1+x2=-

3m

2

，x1x2=

3m2-4

4

，
所以|AB|=

2

|x1-x2|=

32-6m2

2

．
又因?yàn)锽C的長等于點(diǎn)（0，m）到直線l的距離，即|BC|=

|2-m|

2

．
所以|AC|²=|AB|²+|BC|²=-m²-2m+10=-（m+1）²+11．
所以當(dāng)m=-1時(shí)，AC邊最長，（這時(shí)△=-12+64＞0）
此時(shí)AB所在直線的方程為y=x-1．

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓與直線的關(guān)系．考查了學(xué)生綜合把握圓錐曲線知識和基本的運(yùn)算能力．