Question

【題目】已知橢圓: 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，左、右頂點(diǎn)分別為，經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)（不與點(diǎn)重合）.

（Ⅰ）當(dāng)，且直線 軸時(shí)， 求四邊形的面積；

（Ⅱ）設(shè)，直線與直線相交于點(diǎn)，求證：三點(diǎn)共線.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)條件得，再根據(jù)方程得，進(jìn)而解得坐標(biāo)，最后根據(jù)四邊形形狀求面積，（Ⅱ）先考慮特殊情形：直線的斜率不存在，具體求出坐標(biāo)，即得結(jié)果，再考慮直線的斜率存在情況，設(shè)，，再用坐標(biāo)表示，以及，最后利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)得.

（Ⅰ）由題意，得， 解得. 所以橢圓方程為.

當(dāng)，及直線 軸時(shí)，易得,. 且,.

所以，，顯然此時(shí)四邊形為菱形，所以四邊形的面積為.

（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由題意，得的方程為，

代入橢圓的方程，得，，

易得的方程為.則,,,

所以，即三點(diǎn)共線.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，，，

聯(lián)立方程 消去y，得.

由題意，得恒成立，故，.

直線的方程為. 令，得.

又因?yàn)?/span>，，

則直線，的斜率分別為，，

所以.

上式中的分子 ，

所以. 所以三點(diǎn)共線.