Question

已知一扇形的中心角是α，所在圓的半徑是R．
（1）若α=60°，R=10 cm，求扇形的弧所在的弓形面積；
（2）若扇形的周長是一定值c（c＞0），當α為多少弧度時，該扇形有最大面積？

Answer 1

【答案】分析：（1）直接求出扇形的面積，求出三角形的面積，然后求出扇形的弧所在的弓形面積；
（2）法一：通過周長關系式，化簡扇形的面積公式，得到關于α的表達式，利用基本不等式解答即可．
法二：通過周長關系式，化簡扇形的面積公式，得到關于弧長l的表達式，利用二次函數的最值求出最大值，以及圓心角解答即可．
解答：解：（1）設弧長為l，弓形面積為S_弓，
∵α=60°=，R=10，∴l(xiāng)=π（cm），
S_弓=S_扇-S_△=×π×10-×10²×sin60°
=50（-）（cm²）．

（2）法一：∵扇形周長c=2R+l=2R+αR，
∴R=，
∴S_扇=α•R²=α（）²=α•
=•≤．
∴當且僅當α=，即α=2（α=-2舍去）時，扇形面積有最大值．

法二：由已知2R+l=c，∴R=（l＜c），
∴S=Rl=••l=（cl-l²）
=-（l-）²+，
∴當l=時，S_max=，此時α===2，
∴當扇形圓心角為2弧度時，扇形面積有最大值．
點評：本題是基礎題，考查扇形的面積公式的應用，基本不等式以及二次函數的應用，利用基本不等式求最值需要滿足“正、定、等”的條件；二次函數注意x的范圍；考查計算能力．