Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形,平面，，為的中點(diǎn).

（I）求證，平面；

（II）若，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（II）.

【解析】

（I）取的中點(diǎn)，連接.連接，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接.由中位線定理得出為的中點(diǎn)，結(jié)合為的中點(diǎn)，得出，由線面平行的判定定理即可求解;

（II）利用余弦定理得出，結(jié)合勾股定理得到，因?yàn)樗倪呅?/span>是平行四邊形，得到DC為三棱錐D-SAC的高，結(jié)合，得到，即可求出三棱錐的體積.

（I）證明：取的中點(diǎn)，連接.連接，交于點(diǎn)，

連接交于點(diǎn)，連接.

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以.

又，所以為的中點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，

又為的中點(diǎn)，所以.

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面.

（II）因?yàn)?/span>.

由余弦定理得，

所以，所以.

因?yàn)?/span>平面，所以，

所以，所以平面.

因?yàn)樗倪呅?/span>是平行四邊形

所以DC為三棱錐D-SAC的高

因?yàn)?/span>，

所以,

即三棱錐的體積為.