Question

【題目】已知等比數(shù)列的前項和為，且為等差數(shù)列的前三項．

（1）求與數(shù)列的通項公式；

（2）設數(shù)列的前項和，試問是否存在正整數(shù)，對任意的使得？若存在請求出的最大值，若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）的最大值為2．

【解析】

試題分析：（1）設等比數(shù)列的公比為，把用表示并列出等式，解得，然后求得，由等比數(shù)列前項和公式寫出，由此又可得出的等差數(shù)列的前3項，從而得通項公式；（2）數(shù)列，是等差數(shù)列相鄰項相乘的倒數(shù)，因此其前項和用裂項相消法可求，從而得到的取值范圍，不等式成立，即，因此只要小于等于最小值即可．

試題解析：（1）設等比數(shù)列的公比為，由且為等差數(shù)列三項，

則，得，得．

從而

所以的前三項為，故等差數(shù)列的通項公式為．

（2）由（1）知，

所以數(shù)列的前項和．

從而得對于，，故由知只要存在正整數(shù)使，

即只要，解得．

因為為正整數(shù)，所以的最大值為2．