Question

【題目】已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，其前項(xiàng)和為，且當(dāng)時(shí)，、、構(gòu)成等差數(shù)列.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.

Answer 1

【答案】（1）．（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）首先由構(gòu)成等差數(shù)列得到與的關(guān)系式，然后利用得到與的關(guān)系式，從而證明數(shù)列為等差數(shù)列，最后求解通項(xiàng)公式；

（2）利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出，進(jìn)而得到表達(dá)式，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求．

（1）由已知得，當(dāng)時(shí)，構(gòu)成等差數(shù)列，所以，

所以當(dāng)時(shí)，，

兩式相減得，

所以，即，

又的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，故．

又，即，所以，

從而，

故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，而，所以；

（2）由（1）知，，

所以，

所以．

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，顯然成立；

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，需證．

令，則，

所以在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

故當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．

綜上，．