Question

【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓與軸交于 兩點(diǎn)，且．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線分別交于 兩點(diǎn)．是否存在點(diǎn)使得以 為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)不存在.

【解析】分析：（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)知，即，再由離心率得，從而可得，得橢圓方程；

（2）假設(shè)點(diǎn)P存在，并設(shè)，寫出PA的方程，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，同理得N點(diǎn)坐標(biāo)，求出MN的中點(diǎn)坐標(biāo)，即圓心坐標(biāo)，利用圓過點(diǎn)D得一關(guān)于的等式，把P點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程后也剛才的等式聯(lián)立解得，注意的范圍，即可知存在不存在．

詳解：（1）由已知，得知，

又因?yàn)殡x心率為，所以.

因?yàn)?/span>，所以,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）假設(shè)存在.

設(shè)

由已知可得，

所以的直線方程為，

的直線方程為，

令，分別可得，，

所以，

線段的中點(diǎn)，

若以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)D（2,0），

則,

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，代入化簡得，

所以， 而，矛盾，

所以這樣的點(diǎn)不存在.