Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是菱形，平面底面，，分別是，的中點，，，.

（1）求證：；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）連接，由菱形的性質可得：，結合三角形中位線的性質可知：，故，再由平面平面可得，得平面，可得證；

（2）由題意結合菱形的性質易知，，，以點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，求得平面的一個法向量，向量，根據線面角的空間向量坐標公式可求得直線與平面所成角的正弦值.

（1）連接，由菱形的性質可得：，結合三角形中位線的性質可知：，故，

∵，∴，

∵平面平面，平面平面，平面，

∴底面，底面，故，

且，故平面，

平面，∴.

（2）由題意結合菱形的性質易知，，，

以點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，

設平面的一個法向量為，則：，

據此可得平面的一個法向量為，

而，設直線與平面所成角為，則.

所以直線與平面所成角的正弦值為.