Question

【題目】已知函數(shù)有極值，且導函數(shù)的極值點是的零點，給出命題：①；②若，則存在，使得；③若有兩個極值點，，則；④若，且是曲線,的一條切線，則的取值范圍是；則以上命題正確序號是______.

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

由函數(shù)有極值，求得的范圍，同時有導函數(shù)的極值點是的零點求得的關(guān)系，判斷四個命題的真假，其中①由剛才的關(guān)系式就可判斷，②用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理可得，③可舉反例說明，④用已知得出在單調(diào)性，化簡函數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義求出的表達式，從而求得其取值范圍．

由題意，，即．

設，則，由得，由是一次函數(shù)知是的極值點（本題是極小值點），即為的極值點，

所以，即．

①，①正確；

②顯然時，，

設的兩解為，即為的兩個極值點，則，中有一個小于1，一個大于1，不妨設，是極大值，而，若，則，在上在一個零點，當時，在上單調(diào)遞增，，因此在上有零點．

所以且．②正確；

③若，則極值為0和2，，③錯誤；

④由，知②中，因此在上遞增，，

，，設切點為，

則，即，整理得，

，因為，所以，又，解得，

，

由上知是增函數(shù)，所以當時，．④正確．

故答案為：①②④．