Question

①在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，動(dòng)點(diǎn)P在以C為圓心，且與BD相切的圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)，設(shè)

AP

=α

AD

+β

AB

（α、β∈R），求α+β的取值范圍；
②△ABC中，證明不等式

3

2

≤

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

＜2．

Answer 1

分析：①建立直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出BD的方程，求出圓的方程；設(shè)出P的坐標(biāo)，求出三個(gè)向量的坐標(biāo)，將P的坐標(biāo)用α，β表示，代入圓內(nèi)方程求出范圍．
②利用放縮法可得

a

b+c

＜

2a

a+b+c

，

b

c+a

＜

2b

a+b+c

，

c

a+b

＜

2c

a+b+c

，進(jìn)而證得

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

＜2，進(jìn)而根據(jù)柯西不等式，可求證出

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

+3≥

9

2

，綜合后可得答案．

解答：解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD為x軸，DA為y軸建立平面直角坐標(biāo)系則
D（0，0），A（0，1），B（-3，1），C（-1，0）
直線(xiàn)BD的方程為x+3y=0
C到BD的距離為

1

10

∴以點(diǎn)C為圓心，且與直線(xiàn)BD相切的圓方程為（x+1）²+y²=

1

10

設(shè)P（x，y），則

AP

=（x，y-1），

AD

=（0，-1），

AB

=（-3，0）
∴（x，y-1）=（-3β，-α）
∵

AP

=α

AD

+β

AB

∴x=-3β，y=-α
∵P在圓內(nèi)
∴（-3β+1）²+（1-α）²≤

1

10

，
解得1＜α+β＜

5

3

②在△ABC中，a，b，c＞0
∴

a

b+c

＜

2a

a+b+c

，

b

c+a

＜

2b

a+b+c

，

c

a+b

＜

2c

a+b+c

∴

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

＜

2a

a+b+c

+

2b

a+b+c

+

2c

a+b+c

=2
又∵

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

+3
=(

a

b+c

+1)+(

b

c+a

+1)+(

c

a+b

+1)
=（a+b+c）（

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

）
=

1

2

[（b+c）+（c+a）+（a+b）]（

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

）≥

1

2

（1+1+1）²=

9

2

∴

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

≥

3

2

綜上所述

3

2

≤

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

＜2

點(diǎn)評(píng)：①通過(guò)建立直角坐標(biāo)系將問(wèn)題代數(shù)化、考查直線(xiàn)與圓相切的條件、考查向量的坐標(biāo)公式．
②本題考查的知識(shí)點(diǎn)是放縮法證明不等式和柯西不等式，難度比較大．