Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，BC⊥AB，AD=3，AB=4，BC=

3

，點E在線段AB的延長線上．曲線段DE上任一點到A、B兩點的距離之和都相等．
（1）建立適當?shù)闹苯亲鴺讼�，求曲線段DE的方程；
（2）試問：過點C能否作一條直線l與曲線段DE相交于兩點M、N，使得線段MN以C為中點？若能，則求直線l的方程；
若不能，則說明理由．

Answer 1

分析：（1）以直線AB為x軸，線段AB的中點為原點，建立平面直角坐標系，由AD+BD=3+5=8＞AB，知曲線段DE是以A、B為左、右焦點，長軸長為8的橢圓的一部分．由此能求出曲線段DE的方程．
（2）設(shè)這樣的直線l存在，由直線x=2與曲線段DE只有一個交點（0，3），設(shè)直線l的方程為 y=k(x-2)+

3

，將其代入

x2

16

+

y2

12

=1得(3+4k2)x2+(8

3

k-16k2)x+16k2-16

3

k-36=0．由此能求出直線l的方程．

解答：解：（1）以直線AB為x軸，線段AB的中點為原點，
建立如圖所示的平面直角坐標系，
則A(-2，0)，B(2，0)，C(2，

3

)，D(-2，3)．…（1分）
∵AD+BD=3+5=8＞AB，
∴依題意，曲線段DE是以A、B為左、右焦點，
長軸長為8的橢圓的一部分．  （3分）
故曲線段DE的方程為

x2

16

+

y2

12

=1(x≥-2，y≥0)．       （6分）
（2）設(shè)這樣的直線l存在，
由直線x=2與曲線段DE只有一個交點（0，3），
知直線l存在斜率，設(shè)直線l的方程為y-

3

=k(x-2)，
即 y=k(x-2)+

3

，
將其代入

x2

16

+

y2

12

=1，
得(3+4k2)x2+(8

3

k-16k2)x+16k2-16

3

k-36=0①（9分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則由

x1+x2

2

=2，知x₁+x₂=4，
∴-

8 3 k-16k2

3+4k2

=4，
解得k=-

3

2

．（12分）
當k=-

3

2

時，方程①化為：x²-4x=0，
解得x₁=0，x₂=4．
即M(0，2

3

)，N(4，0)，適合條件．
故直線l存在，其方程為y=-

3

2

x+2

3

，
即

3

x+2y-4

3

=0．（14分）

點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．