Question

（2013•江蘇）設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax，g（x）=e^x-ax，其中a為實(shí)數(shù)．
（1）若f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范圍；
（2）若g（x）在（-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，試求f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，轉(zhuǎn)化為

1

x

-a≤0在（1，+∞）上恒成立，利用g（x）在（1，+∞）上有最小值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識，即可求得結(jié)論；
（2）先確定a的范圍，再分類討論，確定f（x）的單調(diào)性，從而可得f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答：解：（1）求導(dǎo)數(shù)可得f′（x）=

1

x

-a
∵f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，∴

1

x

-a≤0在（1，+∞）上恒成立，
∴a≥

1

x

，x∈（1，+∞）．
∴a≥1．
g′（x）=e^x-a，
若1≤a≤e，則g′（x）=e^x-a≥0在（1，+∞）上恒成立，
此時(shí)，g（x）=e^x-ax在（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，無最小值，不合；
若a＞e，則g（x）=e^x-ax在（1，lna）上是單調(diào)減函數(shù)，在（lna，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，g_min（x）=g（lna），滿足．
故a的取值范圍為：a＞e．
（2）g′（x）=e^x-a≥0在（-1，+∞）上恒成立，則a≤e^x在（-1，+∞）上恒成立，
∴a≤

1

e

f′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

（x＞0）
①0＜a≤

1

e

，令f′（x）＞0得增區(qū)間（0，

1

a

）；令f′（x）＜0得減區(qū)間（

1

a

，+∞），
當(dāng)x→0時(shí)，f（x）→-∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→-∞
∴當(dāng)x=

1

a

時(shí)，f（

1

a

）=-lna-1≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a=

1

e

時(shí)取等號
∴當(dāng)a=

1

e

時(shí)，f（x）有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0＜a＜

1

e

時(shí)，f（x）有2個(gè)零點(diǎn)；
②a=0時(shí)，則f（x）=-lnx，∴f（x）有1個(gè)零點(diǎn)；
③a＜0時(shí)，f′(x)=

1

x

-a≥0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）=lnx-ax在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)
當(dāng)x→0時(shí)，f（x）→-∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞
∴f（x）有1個(gè)零點(diǎn)
綜上所述，當(dāng)a=

1

e

或a≤0時(shí)，f（x）有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0＜a＜

1

e

時(shí)，f（x）有2個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評：此題考查的是可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度較大．