Question

【題目】已知過點(diǎn)且離心率為的橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)是橢圓的左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，記橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，上下兩個(gè)頂點(diǎn)分別為.當(dāng)線段的中點(diǎn)落在四邊形內(nèi)（包括邊界）時(shí)，求直線斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）設(shè)橢圓的方程，用待定系數(shù)法求出的值；（2）解決直線和橢圓的綜合問題時(shí)需注意：第一步，根據(jù)題意設(shè)直線方程，有的題設(shè)條件已知點(diǎn)，而斜率未知；有的題設(shè)條件已知斜率，點(diǎn)不定，可由點(diǎn)斜式設(shè)直線方程.第二步，聯(lián)立方程，把所設(shè)直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個(gè)元，得到一個(gè)一元二次方程.第三步，求解判別式，計(jì)算一元二次方程根.第四步，根據(jù)題設(shè)條件求解問題中結(jié)論.

試題解析：（1）依題意，設(shè)橢圓的方程為（）,焦距為，

由題設(shè)條件知，，即，所以，由橢圓過點(diǎn)，則有，解得，，故橢圓的方程為．·······7分

（2）橢圓的左準(zhǔn)線方程為,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4,0），

顯然直線的斜率存在，所以直線的方程為．

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，線段的

中點(diǎn)為，

由

得 ， ① ·······9分

由，

解得 ， ② ·······11分

因?yàn)?/span>是方程①的兩根，所以，

于是， ·······12分

∵，所以點(diǎn)不可能在軸的右邊．

又直線方程分別為，

所以點(diǎn)在正方形內(nèi)（包括邊界）的充要條件為

，即 ·······14分

解得，此時(shí)②也成立．故直線斜率的取值范圍是． ······16分